疲勞分析對金屬結構和部件的設計和安全評估至關 重要。 LS-DYNA 已經開發了頻域和時域疲勞求解器，以滿足不同行業不同領域用戶的需求。本文提供了 一些示例，以說明如何將這些疲勞求解器用於實際問題並對結果進行後處理。本文還討論了 LS-DYNA 中 疲勞求解器未來發展的計畫。

1．介紹

金屬結構和零件的疲勞是工業中的一個重要課題。疲勞造成了歷史上 80％的災難性失效。即使在今 天，對於工程師來說，疲勞分析仍然是一個重要且具有挑戰性的問題，特別是那些設計飛機，鐵路車輛， 汽車，鋼橋，壓力容器和起重機等結構的人。

從  971  R6  版本開始， LS-DYNA  提供了一系列頻域疲勞 求解器，它們包括隨 機振動疲 勞（ *FREQUENCY_DOMAIN_RANDOM_VIBRATION_FATIGUE ） 和   SSD （ 穩 態 動 力 學 ） 疲 勞（*FREQUENCY_DOMAIN_SSD_FATIGUE）。它們已成功用於某些工業問題[1,2]。 有時使用者需要在時域中進行疲勞分析。例如，由於迴圈熱負荷，他們可能需要研究槍管的生命週期。另一個例子是飛機渦輪葉片的疲勞，其由合金製成並且承受高溫和高氣壓的組合負載。在這些情況下，結構承受高載荷，並且可以觀察到材料塑性變形。因此，使用低周疲勞標準並解決時域問題是合適 的。為瞭解決這些問題，LS-DYNA 也開發了時域疲勞求解器。引入了新的關鍵字*FATIGUE 來運行時域 疲勞計算。該關鍵字為用戶提供了在 LS-DYNA 中進行瞬態分析後進行疲勞和耐久性分析的機會。瞬態分析為疲勞分析提供應力或應變迴 圈， 可 以 是線性 的 或非 線性 的， 可以使 用 各種 材料 模 型 （彈性 ， 塑 性......），以及各種不同的負載條件（熱，機械，...）。

頻域和時域中的疲勞分析結果在二進位資料庫 D3FTG 中提供。LS-PrePost 可以很容易地讀入這個 資料庫。

本文提供了一些實例來演示 LS-DYNA 的疲勞分析能力，並展示了如何將這些頻域或時域疲勞求解器 用於解決不同的問題。

2.疲勞分析的後處理及資料庫

疲勞分析結果保存在二 進位資料庫 D3FTG 中 ，關鍵字*DATABASE_FREQUENCY_BINARY_D3FTG 用於啟動 D3FTG 資料庫的輸出。 目前，即使是時域疲 勞分析，也會使用此關鍵字。 LS-PrePost 可以輕鬆訪問 D3FTG。 

D3FTG 的典型 GUI 如圖 1 所示。

對於隨機振動疲勞分析， D3FTG 提供以下結果:

1.   Cumulative damage ratio（累積損傷率）

2.   Expected fatigue life（預期的疲勞壽命）

3.   Zero-crossing frequency with positive slope（具有正斜率的過零頻率）

4.   Peak-crossing frequency（過峰頻率）

5.   Irregularity factor（不規則因數）

6.   Expected fatigue cycles（預期的疲勞週期）

圖 1. LS-PrePost 中疲勞分析結果的 GUI

對於基於*FREQUENCY_DOMAIN_SSD 的疲勞分析和時域疲勞分析，D3FTG 中僅提供 cumulative damage ratio（累積損傷率）。 其他其他結果均為零。

關於疲勞分析結果的後處理的更多細節可以在[3]中找到。

3．LS-DYNA 頻域疲勞分析

版本 971 R5 起，LS-DYNA 已實現了一系列頻域分析功能。有關頻域特性及其在汽車 NVH 和聲學問 題中的應用的全面綜述可以在[4,5]中找到。

LS-DYNA 在頻域中提供用於確定性和非確定性振動的解決方案。對於非確定性振動，可以根據 PSD（功率譜密度）定義載荷並運行隨機振動分析（ *FREQUENCY_DOMAIN_RANDOM_VIBRATION ）;對於確定性振動，可以運行穩態振動分析（*FREQUENCY_DOMAIN_SSD）並獲得每個激勵頻率的響應。 通過振動分析的應力迴圈結果，可以在收到材料的疲勞特性（S-N 疲勞曲線）時進行疲勞分析。  使用Miner 的 cumulative damage ratio：

其中，E(D)是預期的累積損傷率，ni 是應力水準的迴圈次數，Ni  是應力水準 Si  的失效迴圈次數，由材料的 S-N 曲線給出。

3.1．隨機振動環境下的疲勞分析

在本節中，我們將介紹隨機振動環境中的疲勞分析方法。

通過隨機振動分析，計算應力分量的 PSD（並保存在 D3PSD 中）。 已經開發了各種方法（Dirlik 方法，Narrow band 方法，Wirsching 方法等）來計算應力的 PDF（概率密度函數）。 可以在給定的載入 時間內計算應力迴圈次數[3]。材料的 S-N 曲線可以由*MAT_ADD_FATIGUE 定義。 關於定義材料的 S-N 曲線的更多細節可以在[3]中找到。

本節中的示例如圖 2 中所示的金屬支架。它通過兩個小孔（圖 2 中標記為紅色）約束到振動臺，用 於隨機振動測試。

圖 2. 約束在振動臺上的金屬支架模型

S-N 曲線由等式（2）表示

N × S 2.5  = 1.56 ´108                   (2)

其中, N 是載入應力 S 下失效（或耐久性）的周期数量。

該模型受到基礎加速度激勵。 加速度 PSD 曲線如圖 3 所示。

圖 3. 基礎加速度  PSD 曲線

激勵持續時間為 1 小時。 對於第一種載入情況，我們只考慮 z 方向的加速度。

圖 4. 受 Z 方向加速度的 Cumulative damage                     圖 5. 受 Z 方向加速度的 Safe / Failed zone

在該示例中，採用 Dirlik 方法來執行疲勞分析。 Von-mises 應力用作應力指數。

圖 4 顯示了 z 加速度激勵下的累積損傷比圖。累積損傷率的峰值約為 2.48。這表明模型將因測試中 的疲勞而失效。峰值出現在一個約束孔的邊緣。這表明最初的裂縫將發生在那個位置。

使用關鍵字*INITIAL_FATIGUE_DAMAGE_RATIO，可以對多個載入工況中累積對結構的總的損壞。 例如，圖 2 中所示的相同結構可以依次地在 x，y 和 z 方向上經受基礎加速度載入。當我們對最後一個載入 情 況 進 行 疲 勞 分 析 時 （ 例 如  z   方 向 加 速 度 載 荷 ） ， 我 們 可 以 定 義 關 鍵 字 *INITIAL_FATIGUE_DAMAGE_RATIO 並為之前的疲勞結果設置二進位資料庫的路徑和名稱（受到 x 和y 方向的加速度載荷）。最後三個載荷情況，綜合累積損傷比圖可以在圖 6 中找到。

圖 6. x, y and z 三個加速度載荷的綜合                                                            圖 7. x, y and z 三個加速度載荷的綜合

      Cumulative damage                                                                                       Safe /Failed zone

圖 7 顯示了 safe / failed zone（安全/失敗區域）作為三個裝載情況的最終結果。 我們可以看到，在該測試中，孔邊緣區域比其他區域具有更高的破壞機會。 有時，考慮預應力或非零平均應力對疲勞分析的影響很重要。 對於隨機振動分析，可以使用預定義的初始應力作為平均應力。 初始應力由關鍵字*INITIAL_STRESS_SHELL，*INITIAL_STRESS_SOLID 等引入。要定義平均壓力校正方法，請使用關鍵字*FATIGUE_MEAN_STRESS_CORRECTION。  LS- DYNA 中提供以下平均應力校正方法。

Goodman 僅拉伸方法和 Gerber 僅拉伸方法都可以使用。 對於兩種僅拉伸方法，LS-DYNA 使用方程（3）和（5）對拉伸平均應力進行平均應力校正（對於平均應力為壓應力的情況，不進行平均應力校 正）。

在等式（3） - （5）中， S 是校正的應力大小或交替應力; s a 是原始的應力大小或交替應力 s m ; 是 平均壓力; s u  是極限拉伸強度， s y 是材料的屈服強度。

對於圖 2 中所示的模型，假設初始應力（平均應力）狀態（參見圖 8）。

圖 8.初始 Von mises stress (平均應力)

對於受到  z 方向加速度的載入情況，更新的累積損傷率結果，通過  Goodman 方法（方程式  3）和S oderberg 方法（方程式 4）的平均應力校正，顯示在圖 9 和 10 中。

表 1 對比了有和沒有平均應力校正的最大累積損傷比。

表 1：有和沒有平均應力校正的最大損傷率

可以看出，通過平均應力校正，結構的損傷率可以更大，這意味著由於平均應力的存在，結構的疲 勞壽命變短。

3.2．穩態振動環境下的疲勞分析

有 時 我 們 需 要 穩 態 振 動 環 境 ， 例 如 正 弦 掃 描 測 試 中 的 振 動 。  使 用 關 鍵 字*FREQUENCY_DOMAIN_SSD_FATIGUE，就可以進行基於穩態振動的疲勞分析。  這種方法也是基於Miner 的累積損傷規則，我們總結了不同應力水準下的疲勞損傷。 這個例子顯示的是關於穩態振動測試中的實體結構（簡化的汽車前保險杠模型）的疲勞分析。

圖 11. 汽車前保險杠穩態振動模型

在汽車行駛期間，保險杠受到來自地面激勵的連續振動。 假設保險杠通過兩個孔的邊緣約束到汽車 框架（參見圖 11 中所示的紅色節點）。

使用圖 12 中所示的曲線定義材料的 S-N 曲線 * MAT_ADD_FATIGUE。

圖 12. 保險杠模型的 S-N 曲線

基礎加速度曲線在表 2 中給出（見下文）。

表 2. 基礎加速度曲線

The cumulative damage ratio 分佈雲圖可以在圖 13 中看到.

圖 13. 保險杠的 Cumulative damage ratio 分佈雲圖

要快速定位故障區域，可以使用“Safe / Failed zone” 對話方塊，並獲取由紅色元素指示的故障區域， 如下所示（圖 14）。

圖 14. 穩態振動下的 Safe / Failed zone

可以看出，失效的單元幾乎是直接約束到振動臺的相同單元。 對於那些單元，我們預測由於約束而 導致更高的應力集中，這是在同一位置疲勞失效的可能性更高的原因。

3.3．LS-DYNA 中的時域疲勞分析

對於許多應用場合，載入條件是在時域中定義，並且結構或部件的回應也在時域中計算。 這對於車 門撞擊和熱負荷結構以及非線性效應，並且問題不能線性化的許多其他情況都是如此。 為瞭解決這些疲 勞分析問題，LS-DYNA 正在實施時域疲勞求解器。 求解器可分為兩類：一類基於應力，另一類基於應變。

一個新的關鍵字可以用於一般時域疲勞分析。

要進行平均壓力校正，需要關鍵字*FATIGUE_MEAN_STRESS_CORRECTION。

在時域中運行疲勞分析 的一種簡單方法是使 用  ELOUT  中 保 存 的 應 力 / 應 變 資 料 （ 請 參 閱*DATABASE_ELOUT 和 *DATABASE_HISTORY_SHELL，*DATABASE_HISTORY_SOLID 等）。 要使用 ELOUT，只需要將選項_ELOUT 添加到*FATIGUE 並跳過此關鍵字中的前兩張卡片。 如要將應 變結果保存到 ELOUT，需要在* DATABASE_EXTENT_BINARY 中設置 STRFLG = 1。材  料  疲  勞  屬  性  可  以  通  過  關  鍵  字  *MAT_ADD_FATIGUE （  對於 S- N  曲  線  ） 或*MAT_ADD_FATIGUE_EN（對於 E-N 曲線）來定義。 有關這些關鍵字的更多詳細資訊，請參閱 LS- DYNA 使用者的關鍵字手冊[6]。

3.4．基於應力的疲勞分析

對於基於應力的時域疲勞求解器，採用雨流計數法來獲得每個應力水準的應力迴圈次數。 還可以基 於 Goodman 方法，Soderberg 方法，Gerber 方法和僅拉伸張力的 Goodman 方法以及 Gerber 方法（參 見關鍵字*FATIGUE_MEAN_STRESS_CORRECTION）進行平均應力校正。

基於應力的時域疲勞分析的示例是金屬管道模型（圖 15），其經受溫度振盪（參見圖 16）。對於其 實際應用，這種管道可以是大炮或槍管，溫度振盪可能是由於持續的槍支射擊。由溫度振盪引起的熱應 力迴圈引起金屬的疲勞損壞。在足夠數量的槍支射擊之後，累積損壞率可以達到 1 並且表明槍管的使用 壽命結束。

管道由    *MAT_ELASTIC_PLASTIC_THERMAL  建模  。 熱負荷由 *LOAD_THERMAL_LOAD_CURVE 定義。

圖 15. 金屬管道模型                                                                      圖 16. 溫度載荷曲線

材料的疲勞屬性由   *MAT_ADD_FATIGUE 定義。 S-N 如圖 17 所示。

圖 17. 材料的 S-N 疲勞曲線

累積損傷比分佈如  18 所示。可以看出累積損傷比的峰值出現在管道的中間部分，這與  von mises stress 的應力的峰值位置一致（圖 19）。

圖 18. cumulative damage ratio 分佈                                             圖 19. Von mises 應力分佈

圖 20 顯示了管道中間單元的 xy 剪切應力迴圈。 可以看到在 1000 秒的時間內發生了很多壓力迴圈。

圖 20. Xy 剪切應力的時間歷程

3.5．基於應變的疲勞分析

雖然許多結構和工程部件的設計使得應力和應變在正常工作載荷下是彈性的，但是由於局部應力集 中會產生屈服，並導致裂紋萌生。 基於應變的疲勞分析需要描述材料對迴圈彈塑性應變的回應，以及這 些應變與裂紋萌生的疲勞壽命之間的關係。

對於基於應變的疲勞分析，我們使用局部應變壽命方程

使用 Smith-Watson-Topper 平均應力校正，等式（6）變為

使用 Morrow 的平均應力校正，等式（6）變為

以下是方程中使用的變數的定義：

De      應變幅值

N       耐久性或失效的迴圈次數

B       疲勞強度指數(Basquin’s exponent)

s ¢f        疲勞強度係數

s max   最大壓力

s m       平均壓力

c        疲勞延性指數(the Coffin-Manson exponent)

e ¢f            疲勞延性係數，即 2N f  = 1時的塑性應變振幅

E       彈性模量

如果在應力 - 應變迴圈計算中使用純彈性材料（例如使用彈性有限元分析），則使用 Neuber 的規則 將彈性應力/應變轉換為局部真應力/應變

se = s ee e          (9)

其中, s  與 e 是局部應力和應變, s e 與 e e 是彈性應力和應變。

為了便於說明，我們考慮圖 21 中所示的托架模型。 托架由 *MAT_PIECEWISE_LINEAR_PLASTICITY 建模。

圖 21 受到正弦節點力激勵的托架模型

托架模型約束在兩個環上（圖 21 中的紅點）。 在另一端施加正弦節點力 F(t) 以產生高頻振動和應 力 - 應變迴圈。 節點力定義為

F (t ) = 5 sin(1000 t ) N  (10)

總載入時間為 1 秒。 在這個例子中，材料的疲勞參數定義如下：

E = 209,000 MPa ;    K ¢ = 1230  MPa ;      n¢ = 0.161 ;      s ¢f    = 1006 MPa

b = −0.0809 ;    e ¢f    = 1.104 ;      c = −0.6207

圖 22. 下層積分點的有效應變                                                  圖 23. 上層積分點的有效應變

圖 22 和 23 顯示了在載入結束附近的下層和上層積分點的有效應變。 計算出由正弦節點力引起的累 積損傷比，並繪製在圖 24 中。累積損傷比的峰值位置與最高應變值的位置匹配良好。 圖 25 顯示了在負 載附近具有最高有效應變值的單元的應變時間歷程。

結果表明，在觀察到高應變值的下環（固定約束條件）旁邊的區域存在較大的疲勞失效的可能性。

          圖 24. Cumulative damage ratio 分佈                                    圖 25. 單元 526005 上層積分點的有效應變時間歷程

4．總結

LS-DYNA 已經實現了一些基本的頻域和時域疲勞分析方法。對於頻域疲勞分析，指數變數是應力， 方法基於 S-N 曲線;對於時域分析，應力和應變都可以用作變數，因此可以使用 S-N 曲線和 E-N 曲線。結 合 LS-DYNA 中的頻域和時域振動求解器，這些疲勞分析方法為使用者提供了對各種物理問題和負載條件 進行整合的振動 - 疲勞分析的機會。

現實生活中的疲勞問題很複雜。為疲勞問題提供更可靠和更強大的解決方案，需要進一步開發和改 進。首先，需要更多的基準測試和驗證來檢查當前疲勞求解器的可靠性和準確性。其次，需要一種更全 面的方法來考慮多軸應力/應變狀態，以便更真實地模擬疲勞失效過程。目前的方法是基於將應力/應變張 量簡化為主要的標量值。這個方法可能導致過於樂觀的壽命估計，特別是對於由於彎曲和扭轉的組合而經歷雙軸/多軸應力的部件。第三，在時域疲勞分析中，為了顯示疲勞累積損傷的演變，需要開發漸進式 疲勞變化資料庫。目前，D3FTG 僅顯示載入結束時的最終累積損傷率圖，當裂縫開始時，用戶可能會丟失一些重要的時刻。採用漸進式 D3FTG，可以保持材料疲勞失效的動態過程，使用者可以獲得有關間歇性裂紋萌生和疲勞失效的更多資訊。